ข้อ 1

ถ้า f(x) = x-1 และ (gof^-1)(x) = 4x² – 1 แล้วเซตคำตอบของสมการ g(x) = 0 เป็นสับเซตของช่วงในข้อใดต่อไปนี้

ก. [-4, 1]

ข. [-1, 0]

ค. [0, 4]

ง. [4, 6]

 

ข้อ 2

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันจากเซตของจำนวนจริง R ไปยัง R ถ้า f(x) = x³ + 1 และ (fog)(x) = x³ + 3x² + 3x + 2 แล้วค่าของ (gof^-1)(-7) มีค่าเท่ากับข้อใด

ก. -1                ข. -2                ค. 1                  ง. 3

 

ปล.เรามีเฉลย ในภาคการ์ตูนด้วยนะ เป็น attach file อ่ะจ้ะ ในนี้มีแค่โจทย์แบบเป็นตัวหนังสือเท่านั้น

 

เฉลย ข้อ 1 --- ก

         ข้อ 2 --- ก

 

ในที่สุดก็เสร็จซะที ทันกำหนดส่ง(แบบฉิวเฉียด)ด้วย เย้ๆ

1. จงหาสัมประสิทธิ์ทวินามที่มากที่สุดของการกระจาย (x/2 + 2/x)^8

ตอบ สัมประสิทธิ์ทวินามที่มากที่สุด คือ สัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์กลาง

      Τ 5 =  T r+1

            = Τ 4 + 1

               = 8 C 4 (x/2)^4 (2/x)^4

            = 8C4 (1/2)^4 (x)^4 (2)^4 (1/x)^4

        สัมประสิทธิ์ทวินาม = 8!/4!4! (1/16)(16)

                                 = 8x7x6x5 / 4x3x2

                                 = 70

 

2. จากการกระจาย (x²+1/x)^m ถ้าสัมประสิทธิ์ของทวินามพจน์ที่ 4 และพจน์ที่ 13 มีค่าเท่ากัน จงหาพจน์ที่ไม่มี x ของการกระจาย

ตอบ  T 4 = T r+1 = T 3+1 = m C 3 (x²)^m-3 (1/x)³

       T 13 = T r+1 = T 12+1 = m C 12 (x²)^m-12(1/x)¹²

 

      สัมประสิทธิ์ของทวินามพจน์ที่ 4 เท่ากับสัมประสิทธิ์ของทวินามพจน์ที่ 13   

       จะได้ว่า  m C 3                = m C 12

                   m! / (m-3)! 3!     = m! / (m-12)! 12!

                   12x11x10x…x4  = (m-3)(m-4)(m-5)(m-6)…(m-11)

        ดังนั้น    m-3 = 12

                    m = 15

        เพราะฉะนั้น พจน์ที่ไม่มี x คือ 15 C r (x²)^15-r(1/x)^r = x⁰

                                                           x^30-2r  x ^-r   = x⁰

                                                                                                     0   = 30-3r

                                                                        r    = 10

                                ดังนั้น พจน์ที่ไม่มี x คือ พจน์ที่ r+1 = 10+1 = 11                                                                                       

 

1. ครูประกาศผลสอบวิชาสถิติของนักเรียน 3 กลุ่ม กลุ่มที่ 1, 2 และ 3 มีนักเรียน 32 , 25 และ 17 คน ตามลำดับ ซึ่งได้คะแนนเฉลี่ย 79, 74และ 82 ตามลำดับ จงหาคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนทั้งหมด

ก. 85         ข. 82          ค. 78         ง. 74

 

2. มหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งต้องจ่ายเงินเดือนให้กับอาจารย์เฉลี่ยแล้วคนละ 15,000 บาท ถ้าคิดเฉพาะอาจารย์ชายแล้วเฉลี่ยคนละ 15,600 บาท และถ้าคิดเฉพาะอาจารย์หญิงแล้วเฉลี่ยคนละ 12,600 บาท จงหาว่ามีอาจารย์ชายและอาจารย์หญิงเป็นจำนวนกี่เปอร์เซนต์

ก. ชาย 75%  หญิง 25%                   ข. ชาย 60%  หญิง 40%

ค. ชาย 55%  หญิง 45%                   ง. ชาย 80%  หญิง 20%

 

3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบได้ 20 คะแนน ต่อมาปรากฏว่าครูจดคะแนนของนักเรียนคนหนึ่งผิดไป คือ จด 4 เป็น 10 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องเป็นเท่าไร

ก. 17.4         ข. 18.4         ค. 19.4         ง. 21.4

 

4. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้เป็น

   10  20  30  30  a  b  60  60  90  120

ถ้าฐานนิยมและมัธยฐานของคะแนนชุดนี้เป็น 30 และ 40 ตามลำดับ แล้วข้อมูลชุดต่อไปนี้ คือ 

   11  22  33  34  a+5  b+6  67  68  99  130

มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับเท่าใดต่อไปนี้

ก. 50        ข. 55.5         ค. 60         ง. 60.5

 

5. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 10 จำนวน เมื่อเรียงข้อมูลจากค่าน้อยที่สุดไปหาค่ามากที่สุด ได้ค่าของข้อมูลในตำแหน่งที่ 6 เป็น 55 และคำนวณค่าเฉลี่ยเลขขคณิตได้เท่ากับ 60 ค่ามัธยฐานเท่ากับ 50 ต่อมาพบว่ามีการบันทึกข้อมูลผิดพลาด โดยที่ค่าของข้อมูลในตำแหน่งที่ 6 ที่แท้จริงเป็น 60 ถ้าแก้ข้อมูลให้ถูกต้องแล้ว ผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ที่ถูกต้องมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก. 5         ข. 7        ค. 8         ง.10

 

6. ให้ a เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ 

                8

           ∑ (x1 - a)^2  (ทั้งหมดยกกำลัง 2) มีค่าต่ำสุดสำหรับข้อมูล

               i=1

         2  2  6  12  12  20  16  10

แล้วมัธยฐานของข้อมูล  5  a  2a  6  3  7  15  16  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก. 8.5         ข. 8         ค. 7.5         ง.7

 

7. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 25 คน อดุลย์เป็นนักเรียนคนหนึ่งที่เข้าสอบ พบว่าอดุลย์สอบได้ 62 คะแนน และมีนักเรียน 8 คน สอบได้คะแนนสูงกว่า 69 คะแนน และคะแนนสอบของอดุลย์เป็นค่ามัธยฐานของคะแนนสอบทั้งหมด ถ้ามีการจัดกลุ่มคะแนนสอบเป็นช่วง ๆ ให้อันตรภาคชั้นมีความกว้างเท่า ๆ กันและคะแนนของอดุลย์ตกอยู่ในอันตรภาคชั้น 60-69 จำนวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนตั้งแต่ 60 ถึง 69 คะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก. 5         ข. 6         ค. 7         ง. 8

 

8. ผลการสอบของนักเรียน 40 คน พบว่านาย ก สอบได้คะแนนอยู่ในตำแหน่งเดไซล์ที่ 8 และนาย ข สอบได้คะแนนอยู่ในตำแหน่งเปอร์เซนไทล์ที่ 60 จำนวนนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่างนาย ก และนาย ข เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก. 4 คน         ข. 8 คน         ค. 10 คน           ง. 20 คน

 

9. ในการสอบย่อยครั้งหนึ่ง คะแนนเต็ม 20 คะแนน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนของคะแนนที่นักเรียนสอบได้เป็น 12.5 และ 1.2 ตามลำดับ ถ้าครูจะปรับคะแนนเต็มเป็น 60 คะแนน ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของคะแนนนักเรียนชุดใหม่ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

 ก. 37.5 , 3.6         ข. 37.5, 10.8         ง. 52.5, 1.2         ง. 52.5, 10.8

 

 

 

10. ถ้านักเรียนห้องหนึ่ง 20 คน มีส่วนสูงเฉลี่ย 150 เซนติเมตร และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 เซนติเมตร นักเรียนชายของห้องหนึ่งมี 12 คน มีส่วนสูงเฉลี่ย 150 เซนติเมตร และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 เซนติเมตร แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก

ก. ส่วนสูงของนักเรียนหญิงมีการกระจายมากกว่าส่วนสูงของนักเรียนชาย

ข. ส่วนสูงของนักเรียนหญิงมีการกระจายน้อยกว่าส่วนสูงของนักเรียนชาย

ค. สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของส่วนสูงของนักเรียนหญิงและนักเรียนชายเท่ากัน

ง. ข้อมูลที่ให้ไม่เพียงพอที่จะเปรียบเทียบการกระจายของส่วนสูงของนักเรียนหญิงและนักเรียนชายได้

 

 

 

 

 

 

เฉลย

 

1. ค   

 

 

2. ง

ให้อาจารย์ชาย เป็น X เปอร์เซนต์ อาจารย์หญิงเป็น 100 - X แล้วใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตหาค่า X ออกมา

จะได้คำตอบตรงกับข้อ ง

 

 

3. ค

หาผลรวมของคะแนนเดิมจากสูตรการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะได้เท่ากับ 200

แล้วนำไปหาผลรวมของคะแนนใหม่

 ∑x ใหม่ = 200-10+4 = 194

จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตใหม่ = 194/10 = 19.4

 

 

4. ข

มัธยฐาน = 40 = a+b / 2    และฐานนิยมเท่ากับ 30 ดังนั้น ถ้า a = 30 จะได้ b = 50

จากนั้นนำข้อมูลทั้งหมดมาหาผลรวมแล้วหารด้วยจำนวนข้อมูล จะได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 55.5

 

 

5. ค

ข้อมูลมี 10 จำนวน มัธยฐาน เท่ากับ ข้อมูลตำแหน่งที่ 5 + ข้อมูลตำแหน่งที่ 6 / 2

x + 55 / 2 = 50        x = 45

∑x เดิม = 60x10 = 600

∑x ใหม่ = 600-55+60 = 605    ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตใหม่เท่ากับ 60.5

 และมัธยฐานใหม่เท่ากับ 45+60 / 2 = 52.5

 เพราะฉะนั้นผลต่างของค่าทั้งสอง คือ 60.5 - 52.5 = 8

 

 

6. ก

จำนวนจริง a ที่ทำให้ค่าต่ำสุดคือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดแรก

จะได้ a = 60 + 20 / 8 = 10

เพราะฉะนั้นมัธยฐานของข้อมูลชุดที่ 2 = 10 + 7 / 2 = 8.5

 

 

7. ข

ใช้สูตรการหาค่ามัธยฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

 

 

8. ข

D8 = (8 / 10)x40 = 32

P60 = (60 / 100)  = 24

ดังนั้น 32-24 ช 8 คน

 

 

9. ค

คะแนนเต็มเพิ่มขึ้นจากเดิม 40 คะแนน

จากสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต ทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเพิ่มขึ้น 40 ด้วยเช่นกัน = 12.5+40 = 52.5

และจากสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้านำจำนวนจริงไปบวกกับข้อมูลทุกค่าเหมือนกันหมด ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง ทำให้ค่าความแปรปรวนก็ไม่เปลี่ยนแปลงด้วย

 

 

10. ก

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของนักเรียนชายและหญิงแล้วนำมาเปรียบเทียบกัน โดยใช้สูตรการหาความแปรปรวนรวม

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ความน่าจะเป็น

1. ลอตเตอรี่ออกงวดละ 1000 ฉบับ แต่ละงวดจะมีเพียง 1 ฉบับ เท่านั้นที่จะถูกรางวัล ในงวดหนึ่ง ดำ แดง ขาว และเขียว ซื้อลอตเตอรี่คนละ 6, 7, 12 ,15 ฉบับตามลำดับ ถ้า P คือความน่าจะเป็นที่ทั้ง 4 คนนี้ จะไม่ถูกรางวัลเลย จงหาค่าของ 1000P

ก. 600        ข. 720        ค. 840        ง. 960

 

2. กำหนดเซต A มีสมาชิก 4 ตัว และ เซต B มีสมาชิก 5 ตัว สร้างฟังก์ชันจาก A ไป B แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้ฟังก์ชัน 1 - 1 เท่ากับเท่าใด

ก. 24 / 625        ข. 120 / 625         ค. 24 / 196         ง. 120 / 196

 

3. กล่องใบหนึ่งมีบัตร n ใบ (n มากกว่าเท่ากับ 3) ซึ่งเขียนหมายเลขกำกับไว้โดยไม่ซ้ำกัน เริ่มจาก 1 จนถึง n ถ้าหยิบบัตรออกมา 2 ใบโดยสุ่มแล้ว ความน่าจะเป็นที่ได้ใบหนึ่งเป็นบัตรหมายเลข 3 และอีกใบหนึ่งเป็นบัตรหมายเลขต่ำกว่า 3 จะเท่ากับข้อใด

ก. 2 / n^2        ข. 2 / n (n-1)         ค. 3 / n (n-1)         ง. 4 / n (n-1)

 

4. ในการสุ่มหยิบลูกกวาดจากกล่องใบหนึ่งซึ่งมีลูกกวาดอยู่ 4 ชนิด ชนิดละ 2 เม็ด ให้แก่เด็กชาย 2 คน คนละ 4 เม็ด ความน่าจะเป็นที่เด็กแต่ละคนได้ลูกกวาดครบทั้ง 4 ชนิด เท่ากับข้อใด

ก. 8 / 35        ข. 6 / 35        ค. 4 / 35        ง. 2 / 35

 

5. กล่องใบหนึ่งมีบัตรอยู่ 5 ใบ หมายเลข 1 2 3 4 5 หยิบบัตร 2 ใบ โดยหยิบทีละใบ ไม่ใส่คืน ให้ x เป็นหมายเลขบัตรใบแรกที่หยิบได้ และ y เป็นหมายเลขบัตรใบที่สองที่หยิบได้ ความน่าจะเป็นที่จะได้ x<y และ 4 < xy < 12 เท่ากับข้อใด

ก. 1 / 5        ข. 2 / 5       ค. 3 / 5        ง. 4 / 5

 

เฉลย   1. ง   2. ข   3. ง   4. ก   5. ก

1. โอกาสที่ 1 ใน 4 คนนี้จะถูกรางวัล คือ 6+7+12+15  = 40

     ดังนั้นโอกาสที่จะไม่ถูกรางวัล เป็น 1000-40 = 960 / 1000

     P = 96 / 100  ดังนั้น 1000P = 960

2. n(S) = 5 x 5 x 5 x 5 = 625          n(E) = 5 x 4 x 3 x 2 = 120

    P = 120 / 625

3. n(E) = 1C1 x 2C1 = 2

    n(S) = nC2 = n! / 2! (n-2)! = n (n-1) / 2

    P = n(E) / n(S) = 4 / n (n-1)

4. n(S) = 8C4 = 70

    n(E) = 2C1 x 2C1 x 2C1 x 2C1 = 16

    P = 16 / 70 = 8 / 35

5. n(S) = 5 x 4 = 20

    n (E) = 4

    p = 4 / 20 = 1 / 5

    

การจัดหมู่

1. บริษัทแห่งหนึ่งรับพนักงานใหม่เข้าทำงาน 4 แผนก แผนกละ 4 คน โดยให้แต่ละแผนกมีพนักงานใหม่เป็นชาย 2 คน หญิง 2 คนมีผู้มาสมัครเป็นชาย 10 คน หญิง 9 คน จะมีวิธีเลือกคนเข้าทำงานในแผนกต่าง ๆ ทั้งหมดกี่วิธี

ก. 10!9! / (8!)(8!)       ข. 10! 9! / 2^4        ค. 10! 9! / 2^9        ง. 10! 9! / (4!)(4!)

 

2. ในการเก็บตัวนักกีฬา ได้จัดให้พักรวมกันห้องละ 2 คน ถ้ามีนักกีฬาจากต่างจังหวัด 4 คน และจากกรุงเทพ 4 คน จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดให้มีเพียง 2 ห้องเท่านั้นที่แต่ละห้องมีนักกีฬาจากต่างจังหวัดและนักกีฬาจากกรุงเทพพักด้วยกัน

ก. 1,136        ข. 1,272        ค. 1,728        ง. 1,844

 

3. มีคนงานหญิง 6 คน และชาย 8 คน ซึ่งมีนายดำรวมอยู่ด้วย ถ้าจะเลือกคนงาน 4 คนไปทำงานที่ต่างกัน 4 ประเภท โดยให้เป็นหญิง 2 คน เป็นชาย 2 คน และให้มีนายดำอยู่ใน 4 คนนี้ด้วย จำนวนวิธีการเลือกคนงานดังกล่าวเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

ก. 1,920        ข. 2,400        ค. 2,520        ง. 2,880

 

4. ครู 3 คนพานักเรียน 6 คน ไปเข้าค่ายวิชาการซึ่งต้องพักในบ้านหลังหนึ่งที่มีห้องนอน 3 ห้อง ห้องเล็กอยู่ได้ 2 คน ห้องกลางอยู่ได้ 3 คนและห้องใหญ่อยู่ได้ 4 คน ถ้าต้องการให้ครู 3 คนพักในห้องเดียวกัน จะมีวิธีแบ่งได้กี่วิธี

ก. 35        ข. 55      ค. 75        ง. 95

 

5. ครอบครัวหนึ่ง มีสมาชิก 6 คน มีกิ่งและแก้วอยู่ด้วย ไปพักผ่อนตากอากาศโดยเดินทางโดยรถยนต์ ซึ่งคันแรกนั่งได้ 3 คน คันที่ 2 นั่งได้ 2 คน และคันที่ 3 ใส่สัมภาระไว้จึงนั่งได้แค่คนเดียว จงหาจำนวนวิธีที่กิ่งและแก้วจะได้นั่งรถคันเดียวกัน

ก. 4        ข. 12        ค. 16        ง. 24

 

เฉลย   1. ค    2. ค    3. ค    4. ค    5. ค

1. เลือกชาย 2 คนเข้าทำงานแผนก 1 --10C2

    เลือกชาย 2 คนเข้าทำงานแผนก 2 -- 8C2

    เลือกชาย 2 คนเข้าทำงานแผนก 3 -- 6C2

    เลือกชาย 2 คนเข้าทำงานแผนก 4 -- 4C2

    เลือกหญิง 2 คนเข้าทำงานแผนก 1 -- 9C2

     เลือกหญิง 2 คนเข้าทำงานแผนก 2 --7C2

     เลือกหญิง 2 คนเข้าทำงานแผนก 3 --5C2

     เลือกหญิง 2 คนเข้าทำงานแผนก 4 --3C2

      นำทั้งหมดมาคูณกัน จะได้ผลลัพธ์ เป็น 10! 9! / (2!)(2!)

2. จัดเป็นกลุ่ม จะได้ (4C1 x 4C1)(3C1 x 3C1)(2C2)(2C2) / 2! = 72 วิธี

    จัดแต่ละกลุ่มที่แบ่งไว้เข้าไปในห้อง จะได้ 4! วิธี

     ดังนั้น ทั้งหมดจะมี = 72 x 24 = 1,728 วิธี

3. เลือกหญิง 2 คน -- 6C2 = 15

    เลือก ดำ + ชายอีก 1 คน จาก 7 คนที่เหลือ = 1 x 7C1 = 7

    ให้แต่ละคนไปทำงาน จะมีวิธีสลับงานได้ 4! วิธี

     ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด = 15 x 7 x 4! = 2,520 วิธี

4. ครูเลือกอยู่ได้ 2 ห้อง คือห้องกลาง และห้องใหญ่

   ให้ครูอยู่ห้องกลาง  คือ ครู 3 คนอยู่ห้องที่อยู่ได้ 3 คน และนักเรียนอยู่ห้อง 2 คน และ 4 คน

   จะได้ (3! / 3!)(6! / 2! 4!) = 15 วิธี

    ให้ครูอยู่ห้องใหญ่  คือ ครู 3 คนอยู่ห้องใหญ่ และนักเรียนอยู่ห้อง 2 คน , 3 คนและอยู่กับครู 1 คน

    จะได้ (3! / 3!)(6! / 2! 3! 1!) = 60 วิธี

     รวมทั้ง 2 กรณีจะได้ 60+15 = 75 วิธี

5. กิ่งและแก้วจะอยู่ด้วยกันได้ในรถคันที่ 1 และ 2

    กรณีที่ 1 กิ่งและแก้วอยู่คันที่ 1+ คนอื่น 1 คน อยู่คันที่สอง 2 คนและคันที่สาม 1 คน

    จะได้ 1 x (4! / 2! 1! 1!) = 12

     กรณีที่ 2  กิ่งและแก้วอยู่คันที่ 2 อีก 4 คนที่เหลือ อยู่คันที่ 1--3คน และอยู่คันที่ 3 --1 คน

    จะได้ 1 x (4! / 3! 1!) = 4

     รวมทั้ง 2 กรณีจะได้  12 + 4 = 16 วิธี

 

   

การเรียงสับเปลี่ยน

1. ในการเดินขึ้นตึกตึกหนึ่ง มีบันไดทั้งหมด 3 ทาง นาย ก ข และ ค จะมีวิธีขึ้นบันไดได้กี่วิธีเมื่อ นาย กและข ขึ้นบันไดเดียวกัน แต่นาย ค ขึ้นคนเดียว

ก. 6        ข. 7        ค. 8        ง. 9

 

2. ในการเรียงสับเปลี่ยนตัวเลขทั้ง 7 ตัว คือ 1 2 3 4 5 6 7 จงหาจำนวนวิธีที่เรียงได้เลข 7 หลัก ซึ่งผลบวกของเลขโดดในหลักหน่วยและหลักสิบมีค่าน้อยกว่า 7 เท่ากับข้อใด

ก. 360 วิธี        ข. 720 วิธี        ค. 1080 วิธี        ง. 1440 วิธี

 

3. คนกลุ่มหนึ่งเป็นชายและหญิงจำนวนเท่ากัน โดยอัตราส่วนของจำนวนวิธีที่ชายและหญิงยืนสลับที่กันเป็นแถวตรง กับ จำนวนวิธีที่ชายและหญิงยืนสลับที่กันเป็นวงกลมเท่ากับ 10 : 1 จำนวนวิธีที่จะเลือกตัวแทน 2 คน จากคนกลุ่มนี้ โดยมีชายอย่างน้อย 1 คน เท่ากับข้อใด

ก. 30        ข. 35        ค. 36       ง. 45

 

4. ในการประชุมมีผู้แทนนักกีฬา 3 ประเภทเข้าร่วมประชุม โดยกีฬาแต่ละประเภทส่งผู้แทนมา 3 คน จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดให้ผู้แทนแต่ละประเภทกีฬาต้องนั่งติดกันในการรับประทานอาหารบนโต๊ะกลม

ก. 16        ข. 54        ค. 432        ง. 1,296

 

5. ชาย 3 คน และหญิง 3 คน เข้าแถวรอเล่นเครื่องเล่น จงหาจำนวนวิธีที่หญิงทั้งหมดจะยืนเรียงติดกันในแถว

ก. 80      ข. 100      ค. 144      ง. 160

 

เฉลย    1.ก    2. ง   3. ข   4. ค   5. ค

1. ก กับ ข มัดติดกัน -- เลือกได้ 3 ทาง     ดังนั้น ค เลือกได้อีก 2 ทางเท่านั้น

    ดังนั้น มีทั้งหมด 3 x 2 = 6 วิธี

2. เลข 2 หลักท้าย สามารถมีได้ ดังนี้ 1-2 / 2-1 /1-3/3-1/1-4/4-1/1-5/5-1/2-3/3-2/2-4/4-2  รวม 12 วิธี

    และเลข 5 หลักข้างหน้าเป็นได้ คือ 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 วิธี

    ดังนั้น เมื่อนำมารวมกันจะได้ 120 x 12 = 1440 วิธี

3. ให้ Y แทนจำนวนผู้ชาย  X แทนจำนวนผู้หญิง

    ยืนเรียงแถวตรง -- 2 (X! Y!)         ยินเรียงวงกลม -- (X-1)! Y!

    จะได้    2 (X! Y!) / (X-1)! Y!  = 10 / 1

               X (X-1)! Y! / (X-1)! Y!  = 5 / 1

              X = 5   Y = 5

              ดังนั้นถ้าเลือกมาได้ชายอย่างน้อย 1 คน -- (ทั้งหมด-ไม่ได้ผู้ชายเลย)

              = 10C2 - 5 C 2  =  45 - 10 = 35 วิธี

4. มีคน 3 กลุ่ม กลุ่มละ 3 คน จับแต่ละกลุ่มมัดรวมกัน ได้ทั้งหมด 3 กลุ่ม เรียงวงกลมได้ 2! วิธี

   และภายในแต่ละกลุ่มยังสามารถสลับที่นั่งกันได้อีก 3! x 3! x 3!

   ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด คือ  2!  (3! x 3! x 3!) = 432 วิธี

5. ให้หญิง 3 คน มัดติดกันเป็นกลุ่มเดียว จะได้คนเหลือ 4 กลุ่ม สลับที่กันได้ทั้งหมด = 4! วิธี

    และผู้หญิง 3 คน ยังสามารถสลับที่กันในมัดได้อีก 3! วิธี

    ดังนั้น จะมีวิธียืนได้ 4! x 3! = 144 วิธี

กฎการนับ

1. มีถนน 4 สาย เชื่อมอำเภอ ก กับอำเภอ ข และมีถนน 5 สายเชื่อมอำเภอ ข กับอำเภอ ค ชายคนหนึ่งจะมีวิธีเดินทางจากอำเภอ ก ไป ข ไป ค และเดินทางกลับจาก ค ไป ข  ไป ก โดยไม่ซ้ำเส้นทางเดิมทั้งในการเดินทางจาก ค ไป ข และ ข ไป ก ได้กี่วิธี

ก. 400 วิธี      ข. 360 วิธี       ค. 240 วิธี        ง. 480 วิธี

 

2. ถ้าคนงานหญิง 4 คน หยิบร่มอย่างไม่เจาะจงจากที่เก็บร่ม ซึ่งมีเฉพาะร่มของทั้ง 4 คนนี้วางอยู่คนละ 1 คัน จงหาจำนวนวิธีที่ใน 4 คนนี้จะมี 1 หรือ 2 คน หยิบได้ร่มของตัวเอง

ก. 14 วิธี        ข. 16 วิธี        ค. 12 วิธี        ง. 20 วิธี

 

3. มีกล่องขนาดต่างกัน 10 ใบ โดยเป็นกล่องขนาดใหญ่ 3 ใบ ขนาดกลาง 5 ใบ และขนาดเล็ก 2 ใบ ถ้านำลูกบอล 3 ลูกสีต่างกัน สุ่มลูกบอลใส่ลงในกล่อง ให้ลูกบอลแต่ละลูกไม่อยู่ในกล่องขนาดเดียวกัน จะมีวิธีใส่ได้กี่วิธี

ก. 30 วิธี        ข. 60 วิธี        ค. 90 วิธี        ง. 180 วิธี

 

4. ในการเดินทางข้ามแม่น้ำไปทำงานและกลับที่พักตอนเย็นโดยมีเรือใหญ่ 3 ลำ เรือกลาง 5 ลำ เรือเล็ก 2 ลำ จะมีวิธีเดินทางไปและกลับได้กี่วิธีเมื่อขาไปและกลับต้องนั่งเรือขนาดเดียวกันแต่คนละลำ

ก. 38 วิธี        ข. 28 วิธี        ค. 240 วิธี        ง. 900 วิธี

 

5. กุญแจชนิดหนึ่งประกอบด้ยวงแหวนขนาดเท่ากัน 4 วงซ้อนกัน และแต่ละวงมีตัวเลขกำกับอยู่ 6 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5 การที่จะเปิดกุญแจนี้ออกจะต้องหมุนวงแหวนแต่ละวงให้เกิดเลขที่ตรงกับรหัสที่ตั้งไว้ จงหาจำนวนวิธีที่กุญแจจะเปิดไม่ออก

ก. 6^4        ข. (6^4) - 1 วิธี        ค. 6^6 วิธี        ง. (6^6) - 1 วิธี

 

เฉลย   1. ค     2. ก     3. ง     4. ข     5. ข

1. จาก ก ไป ข มีถนน 4 สาย   --   จาก ข ไป ค มีถนน 5 สาย

   --- ขาไป เลือกได้ 4 x 5 วิธี

   --- ขากลับ เลือกได้ 3 x 4 วิธี

       ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ 4x5x3x4 = 240 วิธี

2. ให้คน 4 คน เป็น A B C D --- ให้ร่ม 4 คันเป็น a b c d  โดย A คู่กับ a  B คูกับ b C คู่กับ c D คู่กับ d

หยิบถูก 1 คน   -- เลือกคนถูกมา 1 คน --- 4C1=4

                     -- ที่เหลือ มีวิธีหยิบได้ 2 วิธี B-c C-d D-b  หรือ B-d C-b D-c

                       รวมเป็น 4x2 = 8

หยิบถูก 2 คน   -- เลือกคนถูกมา 2 คน --- 4C2=6

                     -- ที่เหลือมีวิธีหยิบได้ 1 วิธี คือ C-d D-c

                        รวมเป็น 6x1=6

    เพราะฉะนั้น รวมทั้ง 2 กรณี ได้ 8+6 = 14 วิธี

3. ลูกที่ 1 เลือกใส่กล่องใหญ่ 3 วิธี

    ลูกที่ 2 เลือกใส่กล่องกลาง 5 วิธี   

    ลูกที่ 3 เลือกใส่กล่องเล็ก 2 วิธี           

    ทั้งหมดคูณด้วย 3! เพราะลูก 1 2 3 ไม่จำเป็นต้องใส่กล่องตามนี้ก็ได้ 

      จะได้ (2 x 5 x 30) x 3! วิธี

 4. ไปเรือใหญ่ -- 3 * 2 = 6                                                                                                  

     ไปเรือกลาง -- 5 * 4 = 20

     ไปเรือเล็ก -- 2 * 1 = 2

       รวมทั้งหมด จะได้ 6 + 20 + 2 = 28 วิธี

5. วิธีไขทั้งหมด - เปิดออก

    มี 4 วง แต่ละวงเอาเลขใส่ไปได้ 6 ตัว เพราะฉะนั้นมีวิธีลองได้ทั้งหมด = 6 x 6 x 6 x 6 = 6^4 วิธี

    ดังนั้น วิธีที่จะเปิดไม่ออก = (6^4) - 1 วิธี    

1. กล่องใบหนึ่งบรรจุขนมชั้น 24 ชิ้น แต่ละชิ้นมี 4 ชั้น ๆ ละสี ซึ่งมีสีเขียว ขาว แดง เหลือง และการเรียงลำดับสีของแต่ละชิ้นทั้ง 24 ชิ้น แตกต่างกันหมด ถ้าหยิบขนม 1 ชิ้นโดยการสุ่มแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ขนมที่มีสองชั้นบนไม่ใช่สีแดงและไม่ใช่สีเหลืองเท่ากับข้อใด

 ก. 1 / 24                ข. 1 / 12                 ค. 1 / 6                   ง. 1 / 4

เฉลย  ข้อ ค.

ความน่าจะเป็น คือ n (E) / n(S)

 

n (S) = 24   à    เลือก 1 ชิ้น เพราะฉะนั้นมีวิธีเลือกได้ 24 วิธี

n (E) = 2! 2!  

2 ชั้นบนมีได้ 2 สี คือ เขียวและขาว = 2!

2 ชั้นข้างล่างมีได้ 2 สี คือ เหลืองและแดง = 2!

 

 

ดังนั้น ความน่าจะเป็น คือ 2!2! / 24 = 1 / 6

 

2. ค่าแรงงานต่อวันของคนงานกลุ่มหนึ่ง จำนวน 8 คน เป็น

    150, 152, 158, 168, 170, 177, 180, 185 บาท

ถ้าสุ่มเลือกคนงานจากกลุ่มนี้มา 2 คน แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้คนงานอย่างน้อย 1 คนที่มีค่าแรงงานต่อวันต่ำกว่าค่าแรงงานเฉลี่ยของคนงานกลุ่มนี้เท่ากับข้อใดต่ไปนี้

 ก. 3 / 14                   ข. 5 / 14             ค. 9 / 14            ง. 11 / 14

เฉลย  ข้อ ค.

 ค่าเฉลี่ย = 150+152+158+168+170+177+180+185   = 167 บาท

                                                  8

 n (S) = 8 C 2  = 8! / 2! 6! = 28

n (E)  = all - เกินค่าเฉลี่ยทุกคน

           = 28- (5 C 2) = 28-10 = 18

ดังนั้น ความน่าจะเป็น = 18 / 28 = 9 / 14 

 

3. จงหาจำนวนเลขสามหลักซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว และตัวเลขหลักสิบแตกต่างจากตัวเลขหลักร้อย มีจำนวนทั้งหมดเท่าใด

 

เฉลย  162 จำนวน

           หลักร้อย มีได้ 9 จำนวน คือ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

           หลักสิบ มีได้ 9 จำนวน คือ 0 1 2  3  4  5  6 7 8

           หลักหน่วย มีได้ 2 จำนวน คือ 0 5

        ดังนั้น จะสร้างเลขได้ 9x9x2 = 162 จำนวน

 

4. มีสามีภรรยา 4 คู่ ต้องการเลือกคณะกรรมการ 3 คน จากกลุ่มคน 8 คนนี้ จะเลือกได้กี่วิธี ถ้าสามีภรรยาคู่เดียวกันจะเป็นกรรมการพร้อมกันไม่ได้

 

เฉลย  32 วิธี

           เลือกสามีภรรยามา 3 คู่ --> 4 C 3 = 4

           แต่ละคู่เลือกมา 1 คน    --> (2 C 1) x (2 C 1) x (2 C 1) = 2x2x2 = 8

          ดังนั้น มีวิธีเลือกได้  4x8 = 32 วิธี

 

5. คนกลุ่มหนึ่งเป็นชาย 6 คน หญิง 4 คน มีผู้ถนัดซ้าย 7 คน เป็นชาย 5 คน เลือกออกมา 3 คน จงหาจำนวนวิธีการเลือกที่ได้ชายถนัดซ้ายมากกกว่าหญิงถนัดซ้าย

 

เฉลย   75 วิธี

            ได้คน 3 คน

      1. ชายถนัดซ้ายทั้ง 3 คน  --> 5 C 3 = 10

      2. ชายถนัดซ้าย 2 คน + อื่น ๆ 1 คน --> (5 C 2 ) x ( 5 C 1) = 10x5=50

      3. ชายถนัดซ้าย 1 คน + อื่น ๆ ยกเว้นหญิงถนัดซ้าย 2 คน

          --> (5 C 1) x (3 C 2) = 5x3 = 15

         ดังนั้นวิธีทั้งหมด = 10+50+15 =75 วิธี